概率论与数理统计第四版课后答案

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

o1n?100?S???,???，n表小班人数

n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。 表示为：

ABC或AB－ABC或AB－C

表示为：A+B+C

（3）A，B，C中至少有一个发生

（4）A，B，C都发生， 表示为：ABC

表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不发生，

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故 表示为：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：A,B,C中至少有一个发生。故 表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

()

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从()式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=

315??0? 4888.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26

个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

2∵ 从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴

P(A)?5511 ?2A261309. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

4后四个数全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

10?∵ 10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。 ??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2? ??∴

5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的号码为5的概率。

10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??

4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种

4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。

432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10

故

432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A

1500?∵ 在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。

??400??1100?200个产品恰有90个次品，取法有??90??110?种

?????400??1100??90??110?????

P(A)??1500??200???∴

（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种 ??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????

??1500???200?????13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对”

10?∵ 从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。

??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)

P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3种。 对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C3

2(从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4

种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

2C3?4?3P(A2)?43?9 16对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此

3个球，选法有4种)

P(A3)?41 ?316416.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部

件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。 法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23对E：铆法有C50种，每种装法等可能

3333?C47?C44??C23对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔C3〕×10

种

3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

3对E：铆法有A50种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。这种铆法有A3种

32710?A3?A4730A50P(A)??1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25

P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定义???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定义P(AB)P(A)P(B|A)由已知条件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每种结果（x, y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则

P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)216??? 故P(A|B)?P(B)163620.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (C|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 从而P (ABC)= P (AB) ? P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

C8228P(A)?2??0.62

C1045法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

2A82A10P(A)?

?28 45法三：用事件的运算和概率计算法则来作。 记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（记为事件B）

8728 ??10945法一：P(B)?2C22C10?1 45法二：P(B)?2A22A10?1 45法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211 ??10945（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

法一：P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45

法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ???10910945（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

法二：P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2与A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三种情况互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313?????? 5545435

24.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋” 再记B表“再从乙袋中取得白球”。 ∵ ∴

B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

=

nN?1mN ???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。 C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)

112C525C4?C47C5653?2???? ?2?

1199C911C911C9226.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知条件知P(A1)?P(A2)?由贝叶斯公式，有

1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?

15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000

[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次

P及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少

2有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2（1）B={至少有一次及格}

}?A1A2 所以B?{两次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222

（）

定义P(A1A2)（2）P(A1A2)

P(A2)由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?

P2?PP?222

将以上两个结果代入（）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

到家时间 乘地铁到 0.10 家的概率 乘汽车到 0.30 家的概率 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由贝叶斯公式有

0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）

2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5 （先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5

1 L 3 2 R

表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4

5

+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4 3 A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

(加法公式)

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？

解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? （条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三种情况互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三种情况互斥 H3?B2B2B3

又 B1，B2，B2独立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14